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CÁLCULO COM APLICAÇÕES

Aplicações de Derivadas

02/04/98

Esta aula tem como objetivo explorar as aplicações das derivadas num problema da física e outra da estatística.
EXECUTE!! a célula seguinte que permite utilizar o pacote de gráficos MASTER........

<<Graphics`Master`

ATENÇÃO! Para abrir ou fechar um grupo de células clicar duas vezes na célula externa

Travesia do rio

João precisa ir do ponto A até o ponto C, situado na margem oposta de um rio. A trajetória que pretende seguir é caminhar ao longo da margem até algum ponto B e depois atravessar o rio em direção ao ponto C (suponha que não ha correnteza no rio). Sua velocidade na terra é de 10 km/h e na água 6 km/h . Deseja-se calcular a posição de b de modo que o tempo gasto no percurso seja mínimo

1) Obtenha a fórmula do tempód e percurso em função da distãncia x do ponto A ao ponto B

" o tempo total gasto no percurso em funcao da distância AB é dada por:.."
Clear[x,tempo]
tempo[x_]:=x/10+(Sqrt[(16-x)^2+9])/6;
g=Plot[tempo[x],{x,0,16}]

2) Tente achar o tempo mínimo, e o valor de x correspondente fazendo zooms sucessivos no gráfico de tempo(x)

Plot[tempo[x],{x,13,15}]
Plot[tempo[x],{x,13.5,14}]
Plot[tempo[x],{x,13.7,13.8}]
Plot[tempo[x],{x,13.74,13.76}]

3) Intuitivamente o tempo mínimo ocorre quando a derivada da função tempo(x) é nula. Tente achar o tempo mínimo, e o valor de x correspondente fazendo zooms sucessivos no gráfico da derivada de tempo(x).

4) Resolva a equação tempo'(x) = 0 e compare com suas estimativas obtidas nos items 2 e 3.

5) Qual o tempo mínimo (em horas) em que o percurso pode ser feito?

Crescimento populacional

O tamanho da população (em milhares) de uma pequena cidade em t anos após 1990, é dado por:

P(t) = 10 + t - 0.1*t^2 + 0.01*t^3

Analise as seguintes questões:

1) O gráfico de P(t) indica que a população está crescendo no decorrer da década de 90? Explique! sua resposta

P[t_]:=10+t-(0.1)*t^2 + 0.01*t^3;
Plot[P[t],{t,0,10}]

2) O gráfico de P'(t) confirma que a população está crescendo durante esta década? Que propriedade deste gráfico se relaciona com esta questão?

Plot[P'[t],{t,0,10}]

3) Que pontos do gráfico P'(t) correspondem ao(s) instante(s) em que a taxa instantânea de variação de P(t) é igual à taxa média de variação nesta década? Aplique o método das ampliações sucessivas para achar cada um destes instantes (com duas decimais).

4) Que pontos do gráfico P'(t) correspondem ao(s) instante(s) em que a população P(t) está crescendo devagar? Mais depressa? Aplique o método das ampliações sucessivas para achar cada um destes instantes (com duas decimais).

Referências

* M.L. Abell, Mathematica by example, revised edition, AP Professional, 1994, pag. 135
* C.H. Edwards, Jr. & David E. Penney, Cáculo com Geometria Analítica, Prentice Hall do Brasil, 1997, pg. 101.

Anexo

a) Seja a função
f(x) = x^2-10;
encontrar os valores de "x" para os quais a derivada seja igual a 3 e mostre geométricamente f'(x) e
a função g(x) = -2 no intervalo [-1, 3]

ClearAll[x,f,g,sol]
" Definimos a função f(x)"
f[x_]:=x^2-10;
f[x]
" encontramos os valores de x, para quando f'(x)= 3"
sol=Solve[f'[x]==3,x]
"definimos a função g(x) "
g[x_]:=2;
g[x]
"mostramos geométricamente f'(x) e g(x) no intervalo [-1,3]"
Plot[{f'[x],g[x]},{x,-1,3},PlotStyle->Automatic,AxesOrigin->{0,0}]

b) Queremos mostrar a elipse
x^2+y^2-x*y = 9
e encontrar a derivada na interseção com o eixo "x"

ClearAll[x,y,sol,m]
" A figura da elipse é:.."
ImplicitPlot[x^2+y^2-x*y==9,{x,-5,5},{y,-5,5},
PlotStyle->Automatic,AxesOrigin->{0,0}]
" agora redefinimos a função, realizamos a derivação implícita e isolamos dy/dx.."
f[x_,y_]:=x^2+y^2-x*y-9;
sol=Solve[Dt[f[x,y],x]==0,Dt[y,x]]
"calculamos a derivada na interseção com o eixo "x".... "
m[x_,y_]=sol[[1,1,2]];
m[0,y]

Agora tente encontrar o coeficiente angular na interseção com o eixo "y" e mostre as retas tangente(s) nesse(s) pontos!!

Página laboratório