Universidade Estadual de Campinas
	Faculdade de Engenharia Mecânica

Aula 24

• Revisão da aula anterior enfatizando o conceito de geral derivada, regras do produto e da cadeia, componentes da derivada de um tensor.
• Definição de campo escalar e seu gradiente. Observa-se que o gradiente de um campo escalar p é um vetor cujas componentes são as derivadas parciais de p com relação a x1, x2, x3.
• Definição de campo vetorial e seu gradiente. O gradiente de um campo vetorial v é um tensor cujas componentes são as derivadas parciais das componentes v1, v2, v3 de v com relação a x1, x2, x3.
• Definição do divergente de uma função ou campo vetorial v. Para obter o divergente, neste caso, basta somar as derivadas parciais de v com relação a x1, x2, x3, ou seja, div v = v1,1 + v2,2 + v3,3, sendo vi,i a derivada da componente vi em relação a xi.
• O gradiente de um campo tensorial suave T é um campo vetorial tal que (div T) . a = div (TTa). Em termos de componentes, tem-se que div T = Tij,j.
• O rotacional de um campo vetorial v, indicado como curl v, é o vetor axial associado ao tensor antissimétrico 2 (grad v - grad vT), onde grad indica o gradiente de v. Para um campo de velocidades de um corpo rígido, o rotacional pode ser interpretado como sendo igual ao dobro da velocidade angular deste corpo em cada instante.
• Caracterização geral de deformação. Inicialmente, observou-se que os corpos possuem como característica física o fato de ocuparem regiões do espaço euclidiano pontual. Embora nenhuma desta regiões possa ser associada a um corpo em movimento, torna-se interessante selecionar uma delas, denominada configuração de referência B, descrevendo a trajetória do movimento do corpo, ao longo do tempo, em relação a esta configuração. Assim, um corpo passa ser definido como uma região do espaço euclidiano pontual.
• A partir daí, uma deformação é uma função ft mapeando pontos materiais X de B em pontos espaciais x de uma região Bt ocupada pelo corpo no instante t. Esta função deve ser biunívoca (evitando interpenetração do corpo) e além disso o determinante do gradiente de ft deve ser positivo (indicando localmente que a relação entre o volume do corpo deformado pelo volume inicial deve ser positivo).
• Associado a deformação, tem-se um campo vetorial de deslocamentos ut = x - X. A partir do gradiente do campo de deslocamentos, pode-se determinar o gradiente da deformação. Por sua vez, uma deformação é homogênea se seu gradiente é constante. Como exemplos de deformação rígida, tem-se a translação e uma rotação em torno de um ponto. Toda deformação geral, na vizinhança de um ponto, comporta-se como uma deformação rígida.

Referência: notas de aula e arquivo apostila.pdf.
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